首都大学東京 田川研究室
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定圧変化共存対流
動圧による圧縮性が無視できる場合の理想気体の流れです。厳密には爆発のない、解放空間での低マッハ数流れになります。粘性応力テンソルはストークスの仮説に従い、粘性係数の温度変化は無視します。
\begin{eqnarray}
\frac{\partial }{\partial \tau} \phi &+& &\frac{\partial }{\partial X_i} \phi U_i& &=& 0 \\
\frac{\partial }{\partial \tau} \phi U_i &+& &\frac{\partial }{\partial X_j} \phi U_j U_i& &=& -&\frac{\partial }{\partial X_i} P + \frac{1}{Re} \frac{\partial }{\partial X_j}\left(\frac{\partial }{\partial X_j} U_i + \frac{\partial }{\partial X_i} U_j - \frac{2}{3}\frac{\partial }{\partial X_k} U_k \delta_{ij} \right)
\\ && && & +& &\frac{Ra}{Pr Re^2}{\delta}_{3 i} \frac{\Theta}{1+\beta_a\Theta}
\\
\frac{\partial }{\partial \tau}\phi \Theta &+& &\frac{\partial }{\partial X_j}\phi U_j \Theta& &=& &\frac{1}{Pr Re}\frac{\partial^2 }{\partial X_j\partial X_j} \Theta
\\
&& && \phi\;\; &=& &\frac{1}{1 + \beta_a \Theta}&\\
\end{eqnarray}
上から連続の式、N-S方程式、エネルギー方程式、状態方程式。以下無次元数
\begin{eqnarray}
&& t &=& \frac{L}{U_a}\tau\\
&& u_i &=& U_a U_i \\
&& x_i &=& L X_i\\
&& p &=& p_0 + \rho_0 U_a^2 P - \rho_0 g z\\
&& \rho &=& \rho_0 \phi \\
&& &=& \frac{p_0}{R T_0} \phi\\
&& T &=& T_0 + \Delta T \Theta \\
&& Re &=& \frac{L U_a}{\nu}\\
&& Ra &=& \frac{\Delta T}{T_0} \frac{L^3 g }{\alpha \nu}\\
&& Pr &=& \frac{\nu}{\alpha}\\
&& \beta_a &=& \frac{\Delta T}{T_0}\\
&& \alpha &=& \frac{k}{C_p \rho_0}\\
\end{eqnarray}
等熱流束境界条件
\begin{eqnarray}
k \frac{\partial T}{\partial z} |_{z=0} = q
\end{eqnarray}
などが与えられている場合、
\begin{eqnarray}
\Delta T = \frac{q L}{k}
\end{eqnarray}
となり、\(\Delta T\)を含む各無次元数は修正されます。密度に関しては連続の式の時間微分から求めず、エネルギー方程式、状態方程式から計算して連続の式を圧力修正で満たします。
完全な圧縮性の方程式に対する利点は、音波を解かないため時間ステップを大きくとることができ、また連続の式を圧力のポアソン方程式にすることができるので、マルチグリッド法などの高速な行列解法を用いれることにあります。