Pr優位型自然対流

\begin{eqnarray} && && &\frac{\partial }{\partial X_i} U_i& &=& 0 \\ && \frac{\partial }{\partial \tau} U_i &+& &\frac{\partial }{\partial X_j} U_j U_i& &=& -&\frac{\partial }{\partial X_i} P + \frac{\partial^2 }{\partial X_j \partial X_j} U_i + \frac{Ra}{Pr}{e_z}_i \Theta \\ Pr (&& \frac{\partial }{\partial \tau}\Theta &+& &\frac{\partial }{\partial X_j} U_j \Theta& ) &=& &\frac{\partial^2 }{\partial X_j \partial X_j} \Theta \\ \end{eqnarray}

上から連続の式、N-S方程式、エネルギー方程式。以下無次元数になります。通常型より\(Pr\)数を主体とした無次元方程式になっています。

\begin{eqnarray} t &=& \frac{L^2}{\nu}\tau\\ u_i &=& \frac{\nu}{L} U_i \\ x_i &=& L X_i\\ p &=& p_0 +\frac{\rho \nu^2}{L^2}P - \rho g z\\ T &=& T_0 + \Delta T \Theta \\ Ra &=& \frac{\beta \Delta T L^3 g }{\alpha \nu}\\ Pr &=& \frac{\nu}{\alpha}\\ \end{eqnarray}

超低プラントル数の場合は、エネルギー方程式を陰解法にしましょう。高プラントル数の場合は厄介で、N-S方程式は非線形なので陰解法にすることが困難です。フラクショナルステップ法とし、粘性項、圧力項を陰解法にするのが良いでしょう。